Noche electoral: Combinatoria con el pactómetro

El día 20 de Diciembre, los españoles vivimos una de las jornadas electorales más vibrantes de las últimas 2 décadas: el fin del bipartidismo, la nueva política, el cambio… aunque al final ganaron los de siempre y el cambio no se ve tan claro como se pintaba.

Yo elegí ”Al Rojo Vivo” de la Sexta para seguir la noche electoral y para mi sorpresa Ferraras contaba con un arma tecnológica sin paragón, capaz de calcular alianzas entre partidos en tiempo real: el pactómetro.

pactómetro2.JPG
Ferreras muy ilusionado forjando alianzas con su pactómetro

El pactómetro consiste en una simple aplicación con la que el presentador podía arrastrar los logotipos de los 10 partidos con representación parlamentaria a un área llamada El Mapa de los Pactos, y automáticamente se calculaba la suma del número de escaños de esa coalición. En el caso de que la coalición elegida no llegase a un número de escaños suficiente para obtener la mayoría absoluta el pactómetro indicaba cuántos faltaban.

Ferreras no paró de forjar alianzas intentando predecir qué partidos se unirían para gobernar, por lo que al ver al presentador tan entusiasmado haciendo y deshaciendo alianzas a voluntad me entró la curiosidad y pensé: independientemente del número de escaños, ¿cuántas alianzas son posibles entre el número de partidos que han obtenido escaños?

El problema es el siguiente: tengo un grupo de 10 partidos políticos y los quiero agrupar en conjuntos de 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ó 10 elementos. También podría hacer conjuntos con tan solo 1 elemento, pero por definición una alianza necesita 2 o más miembros, así que esa opción la descartamos. También incluiré el hipotético caso en los que todos los partidos deciden formar una gran coalición, por muy improbable que parezca la posibilidad está ahí y hay que tenerla en cuenta.

Tomemos el primer caso, tenemos 10 partidos políticos y los queremos agrupar  de 2 en 2. Una opción sería

Candidaturas2

Existen muchas más maneras de agrupar a 10 partidos políticos en grupos de a 2. Si queremos calcular todas las maneras posibles debemos usar la combinatoria. En concreto debemos calcular combinaciones de 10 elementos tomados de 2 en 2, lo que denominaremos C^2_{10}

Para calcular C^2_{10} debemos utilizar la siguiente formula

C^2_{10} =\frac{10!}{2!(10-2)!}=45

donde el signo ! es la operación factorial.

En total para el caso que acabamos de describir tenemos 45 maneras posibles de combinar a los partidos políticos. Si queremos calcular cuántos posibles combinaciones podría habernos enseñado Ferreras tenemos que hacer exactamente el mismo cálculo pero agrupando a los partidos políticos de 3 en 3, de 4 en 4,… ,y así hasta 10.

Numero de coaliciones que Ferreras nos podría haber enseñado ayer en su pactómetro

C^2_{10}+ C^3_{10}+ C^4_{10}+ C^5_{10}+ C^6_{10}+ C^7_{10}+ C^8_{10}+ C^9_{10}+ C_{10}^{10} = 1013

Son muchas, con algunas se alcanza mayoría absoluta, con otras no, pero son todas las que hay: desde la coalición con la que se formará Gobierno, si consiguen ponerse de acuerdo, hasta alocadas combinaciones como PP+Bildu, PP+PNV+ERC o un gran pacto de consenso entre los 10 partidos.

En el caso de que hubiese más partidos políticos con representación parlamentaria, también  podríamos calcular cuántas coaliciones serían posibles. Imaginemos que un número m de partidos hubiesen conseguido escaños, en ese caso podríamos formar conjuntos de m partidos tomados de n en n. El número total de coaliciones sería

Coaliciones \hspace{3pt} posibles = \sum_{n=2}^m \frac{m!}{n!(m-n)!}

Hasta el día 13 de Enero no sabremos cual será la coalición que permitirá formar Gobierno. Espero que podáis contener la emoción.

 

Anuncios

Un comentario Agrega el tuyo

  1. Edoras dice:

    Habrá que descargarse el pactometro xD

    Le gusta a 1 persona

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s